MATRICES
Guión

Cuestionario
  1. Resuelve la ecuación matricial AXB+C=2A (no son ninguna matriz en concreto)
  2. A y B son matrices cuadradas de orden 2, si el det(A)=5 y det(B)=3 calcula razonadamente det(A.B) , det(inv(A)), det(2A), det(transp(A))
  3. Condiciones para que una matriz tenga inversa.
  4. Define rango de una matriz en relación con los determinantes y con la dependencia lineal de vectores.
  5. Enuncia las propiedades de los determinantes
  6. Describe cómo calcular el rango de una matriz 3x3
  7. Describe cómo calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 3
  8. Inventa dos matrices de orden 2 y comprueba la no conmutatividad del producto.
  9. Si det(A.A)=det(A), ¿cuánto puede valer det(A)?
  10. Si det (F1 , F2 , F3) =5 . ¿Cuánto vale det (2.F1 , F3 , F2) ?

Apuntes: Dependencia lineal

En Geometría estudiaremos con más detalle estas cuestiones. Ahora basta con decir que una matriz de dimensión 3x4 (por ejemplo) está compuesta por 12 elementos que son números reales, pero también está compuesta por 3 filas donde cada fila tiene 4 elementos ( 3 columnas de 4 elementos cada una). A las filas (o columnas de una matriz) les llamamos vectores. Un vector con cuatro elementos se dice que es un vector de R4. Así una matriz 3x4 es un conjunto de 3 vectores de R4 (ó de 4 vectores de R3).

Un concepto importante entre vectores es el de dependencia o independencia lineal.

Un vector x depende linealmente de otros dos u,v si existen dos números reales a y b tales que x = au+bv , es decir si x se puede expresar como combinación lineal de u y de v.

Tres vectores u,v,w son linealmente independientes si la única forma de expresar el vector nulo como combinación lineal de u,v,w es con los tres coeficientes nulos.

O sea : si 0 = au+bv+cw => a = b = c = 0 . En caso contrario se dice linelmente dependientes.

El rango de una matriz es el máximo número de vectores (fila o columna) linealmente independientes.

Dos vectores (fila o columna) son l.i. si existe un menor de orden 2 no nulo en la matriz correspondiente.

Tres vectores (fila o columna) son l.i. si existe un menor de orden 3 no nulo en la matriz correspondiente.

Examen

Problema 1

Sabiendo = 2 , calcula los siguientes determinantes y enuncia las propiedades que utilices: ;


= 3. (ya que la primera fila es múltiplo de 3) = 15.= 30 (ya que la tercera columna es múltiplo de 5)

= (he sustituído la columna1 por ella misma menos el doble de la tercera) = - = -2 ( ya que las dos últimas columnas están intercambiadas)


Problema 2

Define el concepto de matriz inversa de una matriz cuadrada. ¿Qué condición debe cumplir el determinante de una matriz cuadrada para que ésta sea inversible?

Estudia si hay algún valor de a para el que la siguiente matriz tiene inversa:


Se dice que una matriz cuadrada A tiene una inversa si se verifica que

La condición que debe cumplir una matriz para tener inversa es que su determinante no sea nulo.

En la matriz dada se puede observar que la tercera línea es combinación lineal de las dos primeras : F3 = 2. F1 + F2 por lo que su determinante es nulo y no tiene inversa. No hay, por tanto, ningún valor de A que haga invertible a la matriz A.

¿Y si no nos damos cuenta de la combinación lineal? Los suyo hubiera sido calcular el det(A) pero en vez de aplicar Sarrus desde el principio vamos a aplicar propiedades de los determinantes:

Sustituyo la F2 -> F2 – F1 resulta : Ahora hago F3-> F3 – 3. F1 resulta :

Finalmente F3-> F3 – F2 resultará : y , al tener una fila nula, su determinante vale cero. No es regular para ningún valor de a.


Problema 3

Calcula el rango de las matrices :


Problema 4