PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO


GUIÓN

PRODUCTO ESCALAR

  1. Definición 1: En función de los módulos y el ángulo. Ejemplo.

  2. Consecuencias: En relación con perpendicularidad y módulo.

  3. Interpretación geométrica: Expresión del producto escalar en función de la proyección según el ángulo sea agudo u obtuso.

  4. Propiedades. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

  5. Definición 2: Expresión en coordenadas (mención a una base ortonormal). Relación matricial.

  6. Consecuencias: Expresión en coordenadas para módulo, ángulo y Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ejemplo.

  7. Definición de vector unitario. Construcción de un vector paralelo unitario. Ejemplo.

  8. Aplicaciones a Geometría. Ejemplos (Teorema de Pitágoras y otras cuestiones).

  9. Relación con Física.



PRODUCTO VECTORIAL


  1. Definición: Módulo, direción y sentido.

  2. Observación: en relación con la dependencia lineal.

  3. Propiedades.

  4. Interpretación geometríca: Cálculo del área del paralelogramo (ángulos agudo y obtuso).

  5. Observación: cálculo de los productos vectoriales para una base ortonormal.

  6. Expresión analítica en una base ortonormal. Regla para el cálculo del producto vectorial.

  7. Ejemplos.


PRODUCTO MIXTO


  1. Definición. Operación definida en V3 que asocia a tres vectores libres un nº real.

  2. Interpretación geométrica del producto mixto. Coincide con el valor absoluto del paralelepípedo construido sobre los tres vectores.

  3. Aplicación del Proyecto Descartes al cálculo del producto mixto de tres vectores.

  4. Expresión analítica. Cálculo del determinante de la matriz que forman los tres vectores.

  5. Propiedades del producto mixto. Relación con las propiedades de los determinantes.

  6. Ejemplos.


CUESTIONARIO


  1. Si u, v son dos vectores tales que u·v=0 ¿se puede asegurar que alguno de los vectores es el vector nulo? Justifica la respuesta.

  2. El producto escalar de dos vectores puede ser nulo, positivo o negativo. En la cuestión anterior ya se pregunta cuándo es nulo, pero ¿cuándo es positivo?¿y negativo?

  3. Sean x, y, z números reales con x no nulo, tales que xy = xz, entonces y=z. ¿Ocurre igual para el producto escalar? Es decir, si u, v, w son vectores con u no nulo y u·v=u·w ¿se tiene entonces que v=w? Justifica tu respuesta.

  4. Si u x v = u x w , ¿podemos afirmar que v y w son iguales?

  5. Sabiendo que la ecuación general de un plano es :(u2v3-u3v2)x – (u1v3-u3v1)y + (u1v2-u2v1)z = (u2v3-u3v2)a – (u1v3-u3v1)b+ (u1v2-u2v1)c donde u= (u1, u2, u3), v= (v1, v2, v3) son los vectores directores y (a,b,c ) un punto del plano, relaciona los coeficientes de la ecuación con el producto vectorial de u y v.

  6. Si [u,v,w] = 0 y u,v,w ≠ 0 y v x w ≠ 0 ¿qué está ocurriendo ? Puedes justificar tu respuesta representándolo gráficamente.

  7. ¿Es correcto [u,v,w]= [v,w,u]? ¿y [ u,v,w]=[v,u,w]?

  8. Dados 3 vértices A,B,C de un triángulo,¿ qué harías para saber si el triángulo es rectángulo? Apóyate en un dibujo para justificar tu respuesta.

EJERCICIOS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD


  1. Ejercicio 4, opción A . Septiembre 2003

  2. Ejercicio 4, opción B . Septiembre 2003

  3. Ejercicio 4, opción A . Modelo 1 2002

  4. Ejercicio 4, opción B . Modelo 4 2002

  5. Ejercicio 4, opción B . Modelo 1 2001

  6. Ejercicio 3, opción B . Modelo 3 2000

  7. Ejercicio 4, opción B . Modelo 2 1998

  8. Ejercicio 4, opción B . Modelo 4 1998

  9. Ejercicio 4, opción B . Modelo 3 1997

  10. Ejercicio 4, opción B . Modelo 5 1997